Obiekt geometryczny, zwany później „butelką Kleina”, został po raz pierwszy opisany w 1882 r. Przez niemieckiego matematyka Feliksa Kleina. Jaki on jest Ten obiekt (a raczej powierzchnia geometryczna lub topologiczna) po prostu nie może istnieć w naszym trójwymiarowym świecie. Wszystkie modele, które są sprzedawane w sklepach z pamiątkami, mają wygląd, który daje odległe wyobrażenie o tym, czym jest butelka Kleina.
Dla jasności opisano to następująco: wyobraź sobie butelkę z bardzo długą szyjką. Następnie mentalnie wykonaj w nim dwie dziury: jedną w ścianie, a drugą na dole. Następnie zegnij szyję, włóż ją do otworu w ścianie i na zewnątrz przez otwór w dnie. Powstały obiekt będzie rzutem obiektu czterowymiarowej przestrzeni, która jest prawdziwą butelką Kleina, w naszej trójwymiarowej przestrzeni.
Opis butelki Kleina w języku matematycznych terminów lub formuł niczego nie powie laikowi. Ilu byłoby zadowolonych z takiej definicji: butelka Kleina jest nie orientowalnym kolektorem (lub powierzchnią) o wielu właściwościach. Po słowie „właściwości” można zbudować długą serię składającą się z funkcji trygonometrycznych, liczb oraz liter greckich i łacińskich. Ale może to tylko zmylić nieprzygotowaną osobę, która już wiedziała, czym jest rzut butelki w trójwymiarowej przestrzeni.
Ciekawy fakt: nazwa „butelka Kleina” otrzymana przez ten obiekt, najprawdopodobniej z powodu błędu lub literówki tłumacza. Faktem jest, że Klein w swojej definicji użył słowa Fläche, czyli „powierzchnia” w języku niemieckim. Podczas „podróży” z Niemiec do innych krajów słowo to zostało przekształcone w podobną pisownię Flasche (butelka). Następnie termin powrócił do kraju pochodzenia w nowej, zmienionej formie i pozostał taki na zawsze.
Dla wielu postaci kulturowych (głównie pisarzy science fiction) sam termin „butelka Kleina” okazał się atrakcyjny. Jego użycie jako atrybutu, a czasem główny bohater, stało się znakiem „intelektualnej” fikcji. Taką na przykład jest historia „Ostatni iluzjonista” napisana przez Bruce'a Eliota. W opowieści asystent mag zajmuje się swoją kartridżem, który wykonał sztuczki z czterowymiarową butelką Kleina. Iluzjonista, który dostał się do butelki, pozostaje w niej do połowy zanurzony. Według autora tej butelki nie można rozbić bez uszkodzenia zawartości. Czy to naprawdę tak - nikt nie może powiedzieć. Przynajmniej matematycy, którzy mogliby odpowiedzieć na to pytanie, nie byli przez nich zaintrygowani, ponieważ dla nauki nie ma to znaczenia.
Czasami wino wlewa się do specjalnie wykonanych butelek Klein w celach reklamowych. To prawda, że technicznie trudno jest zrobić taką butelkę szklaną; wymaga to dmuchawy do szkła klasy wyższej. Dlatego ma dość wysoki koszt i jest rzadko używany. Ale testowanie technologii i konfigurowanie produkcji takich butelek w strumieniu nie ma sensu, ponieważ w tym celu konieczne będzie wypracowanie metodologii napełniania butelki płynem (istnieją również pewne trudności). Poczucie niezwykłości i nowości zostanie szybko zastąpione niedogodnościami podczas rozlewania wina z takiej butelki do kieliszków do wina.
