Paradoks Achillesa i żółwia, wysunięty przez starożytnego greckiego filozofa Zenona, podważa zdrowy rozsądek. Stwierdza, że atletyczny facet Achilles nigdy nie dogoni wiotkiego żółwia, jeśli zacznie przed nim swój ruch. Co to jest: sofizmat (świadomy błąd w dowodzie) lub paradoks (stwierdzenie, które ma logiczne wytłumaczenie)? Spróbujmy zrozumieć ten artykuł.
Kim jest Zeno?
Zeno urodził się około 488 rpne w Elei (dzisiejsza Velia) we Włoszech. Przez kilka lat mieszkał w Atenach, gdzie całą swoją energię poświęcił wyjaśnianiu i rozwijaniu systemu filozoficznego Parmenides. Z pism Platona wiadomo, że Zenon był 25 lat młodszy od Parmenidesa, napisał obronę swojego systemu filozoficznego w bardzo młodym wieku. Chociaż niewiele zostało uratowanych przed jego pismami. Większość z nas wie o nim tylko z prac Arystotelesa, a także z faktu, że ten filozof, Zenon z Elei, słynie ze swoich rozważań filozoficznych.
Księga paradoksów
W V wieku pne grecki filozof Zenon zajmował się zjawiskami ruchu, przestrzeni i czasu. Sposób, w jaki ludzie, zwierzęta i przedmioty mogą się poruszać, jest podstawą paradoksu Achillesa i żółwia. Matematyk i filozof napisali cztery paradoksy, czyli „paradoksy ruchu”, które zostały zawarte w książce napisanej przez Zenona 2500 lat temu. Poparli stanowisko Parmenidesa, że ruch jest niemożliwy. Rozważymy najsłynniejszy paradoks - o Achillesie i żółwiu.
Historia jest taka: Achilles i żółw postanowili rywalizować w biegu. Aby konkurs był bardziej interesujący, żółw wyprzedził Achillesa o pewną odległość, ponieważ ten drugi jest znacznie szybszy niż żółw. Paradoks polegał na tym, że dopóki teoria będzie kontynuowana, Achilles nigdy nie wyprzedzi żółwia.
W jednej wersji paradoksu Zenon twierdzi, że nie ma czegoś takiego jak ruch. Istnieje wiele odmian, Arystoteles wymienia cztery z nich, chociaż w zasadzie można je nazwać odmianami dwóch paradoksów ruchu. Jeden odnosi się do czasu, a drugi do przestrzeni.
Z fizyki Arystotelesa
Z książki VI.9 fizyki Arystotelesa można to znaleźć
W wyścigu najszybszy biegacz nigdy nie może złapać najwolniejszego, ponieważ prześladowca musi najpierw dotrzeć do punktu, w którym rozpoczęła się pościg.
Tak więc po tym, jak Achilles biegnie przez czas nieokreślony, osiągnie punkt, z którego żółw zaczął się poruszać. Ale dokładnie w tym samym czasie żółw ruszy do przodu, osiągając kolejny punkt na swojej drodze, więc Achilles wciąż musi dogonić żółwia. Znów porusza się do przodu, dość szybko zbliżając się do tego, co wcześniej zajmował żółw, ponownie „odkrywa”, że żółw czołgał się trochę do przodu.
Ten proces powtarza się, dopóki chcesz go powtórzyć. Ze względu na fakt, że pomiary są konstrukcją człowieka, a zatem nieskończoną, nigdy nie osiągniemy punktu, w którym Achilles pokona żółwia. To jest właśnie paradoks zeno Achillesa i żółwia. Zgodnie z logicznym rozumowaniem Achilles nigdy nie będzie w stanie dogonić żółwia. W praktyce, oczywiście, sprinter Achilles będzie przebiegał obok wolnego żółwia.
Znaczenie paradoksu
Opis jest bardziej skomplikowany niż paradoks. Dlatego wielu mówi: „Nie rozumiem paradoksu Achillesa i żółwia”. Trudno jest dostrzec umysłem to, co w rzeczywistości nie jest oczywiste, ale wręcz przeciwnie jest oczywiste. Chodzi o wyjaśnienie samego problemu. Zeno udowadnia, że przestrzeń jest podzielna, a ponieważ jest podzielna, niemożliwe jest osiągnięcie pewnego punktu w przestrzeni, gdy inny przesunął się dalej od tego punktu.
Zeno, biorąc pod uwagę te warunki, dowodzi, że Achilles nie może dogonić żółwia, ponieważ przestrzeń może być nieskończenie podzielona na mniejsze części, gdzie żółw zawsze będzie częścią przestrzeni z przodu. Należy również zauważyć, że podczas gdy czas jest ruchem, tak jak zrobił to Arystoteles, dwaj biegacze będą się poruszać w nieskończoność, tym samym pozostając w bezruchu. Okazuje się, że Zenon ma rację!
Paradoks Achillesa i rozwiązanie żółwia
Paradoks pokazuje rozbieżność między naszym sposobem myślenia o świecie a tym, czym naprawdę jest świat. Joseph Mazur, emerytowany profesor matematyki i autor Oświeconych symboli, opisuje paradoks jako „sztuczkę”, która źle myśli o przestrzeni, czasie i ruchu.
Następnie powstaje zadanie ustalenia, co dokładnie jest nie tak z naszym myśleniem. Ruch jest oczywiście możliwy, szybki człowiek może wyprzedzić żółwia w wyścigu.
Paradoks Achillesa i żółwia z punktu widzenia matematyki jest następujący:
- Zakładając, że żółw znajduje się 100 metrów przed nami, gdy Achilles przeszedł 100 metrów, żółw będzie przed nim o 10 metrów.
- Kiedy osiągnie te 10 metrów, żółw będzie miał 1 metr do przodu.
- Kiedy osiągnie 1 metr, żółw znajdzie się 0, 1 metra z przodu.
- Kiedy osiągnie 0, 1 metra, żółw będzie miał 0, 01 metra z przodu.
Dlatego w tym samym procesie Achilles poniesie niezliczone porażki. Oczywiście dzisiaj wiemy, że suma 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + … = 111, 111 … jest dokładną liczbą i określa, kiedy Achilles wyprzedza żółwia.
Do nieskończoności, nie dalej
Zamieszanie wywołane przykładem Zenona wynikało przede wszystkim z nieskończonej liczby punktów obserwacyjnych i pozycji, które Achilles musiał najpierw osiągnąć, gdy żółw poruszał się stabilnie. W ten sposób Achilles nie mógł dogonić żółwia, nie mówiąc już o wyprzedzaniu go.
Po pierwsze, odległość przestrzenna między Achillesem a żółwiem staje się coraz mniejsza. Ale czas potrzebny na pokonanie dystansu jest proporcjonalnie skrócony. Stworzony problem Zeno prowadzi do ekspansji punktów ruchu do nieskończoności. Ale nie było jeszcze pojęcia matematycznego.
Jak wiecie, dopiero pod koniec XVII wieku w rachunku różniczkowym i matematycznym można znaleźć matematyczne rozwiązanie tego problemu. Newton i Leibniz zbliżyli się do nieskończoności z formalnym podejściem matematycznym.
Angielski matematyk, logik i filozof Bertrand Russell powiedział, że „… Argumenty Zenona w takiej czy innej formie stanowiły podstawę prawie wszystkich teorii przestrzeni i nieskończoności zaproponowanych w naszych czasach do dziś…”
